DAVID HILBERT (1862-1943)
Las fuentes en las que está basada esta biografía son fundamentalmente las siguientes:
David Hilbert nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg, entonces capital de la Prusia Oriental y hoy día la ciudad rusa de Kaliningrado. Se da la circunstancia de que esta también fue la ciudad natal de Kant. De familia acomodada (su padre era juez), tuvo una única hermana, que murió de parto en 1897.
Sus años de escuela no fueron particularmente brillantes, aunque pasó el Abitur o examen final en el Wilhelm-Gymnasium. Entró en 1880 en la pequeña Universidad de Königsberg, por donde había pasado uno de los matemáticos más influyentes de la época, Carl Jacobi. Coincidieron con él el físico Gustav Kirchoff y el geómetra Otto Hesse así como Heinrich Weber, quien ocupó la cátedra de matemáticas desde 1875 a 1883, siendo relevado por Ferdinand Lindemann, quien demostró la trascendencia del número $\pi$. En esa época era la más firme competidora de la Universidad de Berlín.
Una de las personas que más le influyó fue Hermann Minkowski, que volvía entonces a Königsberg desde la Universidad de Berlín, y al que le uniría una gran amistad. Además, en 1884 llegó a Königsberg Adolf Hurwitz con un contrato de profesor titular, y los tres matemáticos consolidaron una amistad que duraría de por vida.
Hilbert defendió su tesis el 11 de diciembre de 1884 bajo la batuta de Ferdinand Lindemann, y su tema eran los invariantes algebraicos, con cretamente llevaba como título: Sobre las propiedades invariantes de formas binarias especiales, en particular las funciones circulares.
A través de Hurwitz Hilbert entró en el círculo que Felix Klein estaba formando a su alrededor en Leipzig. Klein le animó a desplazarse a París, en donde conoció a Henri Poincaré, más preocupado por trabajos geométricos que los algebraicos de Hilbert. Más adelante, en 1988, Klein le llevó a Gotinga (en donde él estaba entonces) y a Erlangen para entrevistarse con Paul Gordan, experto en la teoría de invariantes. Gracias a este conocimiento Hilbert empezó a despegar en el mundo de las matemáticas publicando artículos notables en revistas de la Universidad de Gotinga.
En la década de 1890 Hilbert fue abandonando la teoría de números y se interesó por los fundamentos de la Geometría. En su curso de 1891 dejó claro que para él la geometría es en sí misma parte de las ciencias de la naturaleza. En la siguiente reflexión, de claro perfume kantiano, defiende esta tesis:
"La geometría es la ciencia que se ocupa de las propiedades del espacio. Difiere de manera esencial de otros dominios de la matemática pura, como la teoría de números, el álgebra o la teoría de funciones. Los resultados de estas últimas se obtienen a partir del pensamiento puro... Sin embargo en geometría la situación es completamente distinta. Nunca podré penetrar las propiedades del espacio por pura reflexión, de igual modo que nunca podré obtener las leyes básicas de la mecánica, la ley de la gravitación o cualquier otra ley física de este modo. El espacio no es producto de mis reflexiones. Más bien, se me da a través de los sentidos".
Los Fundamentos de la Geometría de Hilbert varían la luz en su primera edición en 1899. En esa década además había contraído matrimonio con Käthe Jerosch (1864-1945), en 1892, la hija de un comerciante de Königsberg, y había obtenido el grado de profesor titular de la Universidad de Gotinga en 1895, gracias a la mediación de Felix Klein.
En 1900 el matemático en activo más prestigioso, Henri Poincaré, invitó a Hilbert al II Congreso Internacional de Matemáticos, que tendría lugar en agosto, coincidiendo con la quinta Exposición Universal, en París.
Hilbert tenía dudas sobre el contenido de su conferencia, pero su amigo Minkowski en una carta le dio la idea:
"... más atractivo sería el intento de mirar al futuro, en otras palabras, de hacer una caracterización de los problemas a los que los matemáticos deberían orientarse en el futuro. Con esto, podrías tener a gente hablando de tu charla incluso durante décadas a partir de ahora".
De esta forma fue como Hilbert preparó una lista de 23 problemas pendientes de resolver en Matemática que conmocionó a los asistentes a la Sorbona el 8 de agosto de 1900. De estos problemas ya hay mucho escrito y no nos vamos a ocupar aquí ya que se pueden consultar en diversas fuentes (la de Jeremy J. Gray es un ejemplo). A pesar de dejarse en el tintero cuestiones importantes como el problema de los tres cuerpos, o ramas laterales como la teoría de matrices, los problemas de Hilbert tuvieron capital importancia en el desarrollo de la matemática del siglo XX, y la mayoría de los que pudieron resolver alguno obtuvieron importantes reconocimientos, como la medalla Fields (conocido como el Nobel de las matemáticas).
A partir de 1901 y hasta 1912 Hilbert se ocupó fundamentalmente de las ecuaciones integrales, dirigiendo al menos catorce tesis sobre el tema, a matemáticos de la talla de, por ejemplo, Hermann Weyl. No obstante, en el verano de 1908 sufrió una crisis de agotamiento nervioso que le obligó a guardar reposo durante algunos meses.
A partir de 1912 los intereses de Hilbert se orientaron decididamente a lo que Einstein estaba fraguando. El boceto de la relatividad general fue publicado por Einstein y su amigo matemático Marcel Grossmann en 1913 y 1914 en los Zeitschrift für Mathematik Physik. El interés por la Física de Hilbert lo aclara muy bien Jeremy Gray:
"La Física era para él un interés genuino y de toda la vida, y el enfoque axiomático era su contribución específica. Veía la geometría como el caso transicional, porque la geometría pertenece a las matemáticas y pese a todo tiene un aspecto empírico".
Este interés ya había sido demostrado en el enunciado de sus famosos problemas, ya que es el sexto el que propone axiomatizar algunas ramas de la física, como la teoría de las probabilidades y la mecánica. La llegada de Minkowsi a Gotinga amplió los intereses de Hilbert, y hacia 1907 ambos estudiaron el trabajo de Einstein en relatividad. A finales de ese año Minkowsi redactó el primero de sus tres trabajos sobre el tema.
Los esfuerzos de Einstein entre los años 1912-15 se basaron en encontrar un sistema de ecuaciones en derivadas parciales en donde la métrica gravitatoria $g_{\mu\nu}$ eran las funciones incógnita. En el primer boceto, se sugirió la forma:
donde $G=(g_{\mu\nu})$ era el tensor métrico y $T_{\mu\nu}$ el de materia. En el segundo boceto plantearon una versión variacional integro-diferencial a modo de ecuaciones de Euler-Lagrange. No obstante, no acabaron de encontrar la función hamiltoniana $H$ que fuera invariante frente a todos los cambios de sistema de referencia. Aparte, tampoco daban una descripción satisfactoria de un campo en rotación, y por tanto no podía servir para corregir la anomalía newtoniana del perihelio de Mercurio.
Para corregir estos defectos, Einstein se apoyó más en los matemáticos que en los físicos, y estuvo muy influenciado por el geómetra italiano Tullio Levi-Civita y por su visita a Hilbert en julio de 1915. Aunque Hilbert en realidad estaba elaborando un grupo más ambicioso de ecuaciones para la axiomatización de la Física, contribuyó a dar un espaldarazo a la correcta formulación de las ecuaciones de campo de Einstein, que fueron publicadas en la Academia de Berlín en noviembre de 1915 en la forma
donde $R_{\mu\nu}$ era el tensor de Ricci y $R$ la curvatura de Riemann. La búsqueda de las ecuaciones de campo de Hilbert estaba basada en las ecuaciones de Euler-Lagrange de la acción
en donde $g=det(g_{\mu\nu})$ y la función lagrangiana $\mathcal{L}$ depende del tensor métrico. De esta acción se deducen también las ecuaciones de Einstein, y por eso es llamada comúnmente acción de Einstein-Hilbert.
Después de la Gran Guerra, el protagonismo de Alemania en Europa disminuyó considerablemente. No obstante, Hilbert no había sido nacionalista y era muy respetado en el extranjero. Gotinga se las arregló para prosperar de nuevo y, retirado Klein, Hilbert era el líder del prestigioso Instituto de Matemáticas. Estaba rodeado de un grupo de potentes matemáticos: Emmy Noether en álgebra, Courant y Herglotz en análisis, Landau y Siegel en teoría de números y Bernays en fundamentos de la matemática. Además, había llegado de visita Von Neumann de Hungría en 1924, y pasó bastante tiempo con Hilbert.
No obstante, Hilbert enfermó en ese año de anemia perniciosa, enfermedad que podía tener consecuencias fatales. Aunque los médicos le dieron sólo unos meses, sus colegas, especialemente Courant, se enteraron de un tratamiento experimental de G. R. Minot en Harvard, a base de hígado crudo, que salvó la vida a Hilbert.
La beca de la que gozaba Von Neumann en Gotinga le sirvió para darse cuenta de que las matemáticas de Hilbert sintonizaban con las demandas de la teoría cuántica. Aunque Hilbert entonces estaba más interesado en los fundamentos de las matemáticas, se puso a trabajar con Von Neumann y su asistente en física L. Nordheim en la búsqueda del marco matemático adecuado para la teoría cuántica. En realidad este trabajo fue acabado en solitario por Von Neumann, pero desde entonces a los espacios de funciones de onda cuánticas se les conoce como espacios de Hilbert.
Como se ha dicho, en los años veinte Hilbert retomó su interés por los fundamentos de la matemática y a ellos dedicó el resto de su vida académica. En especial se ocupó de desarrollar el llamado programa de Hilbert para la demostración de la consistencia de la aritmética y la recuperación de los métodos conjuntistas.
En 1930, con 68 años, Hilbert se jubila dejando su plaza de catedrático a Hermann Weyl. Se le nombró ''ciudadano de honor'' de la ciudad de Königsberg. En el acto de entrega, cuya grabación aún se conserva, Hilbert pronunció su famosa frase: ''Debemos saber, sabremos'', en respuesta a la famosa alocución latina ''ignoramus et ignorabimus'' (desconocemos y desconoceremos). En 1931, aún dando clases esporádicamente en la Universidad, se enteró de los resultados de Godel sobre la consistencia de la aritmética, lo que supuso un fuerte golpe a su programa.
A partir de 1933, con la llegada de Hitler al poder, las matemáticas de Gotinga se fueron apagando debido a la expulsión de los judíos (Courant, Landau, Noether, Weyl, Bernays) y otros matemáticos no judíos que emigraron en señal de protesta, entre ellos Emil Artin y Carl Ludwig Siegel.
Hilbert fue viendo cómo todos sus discípulos dejaban el país. Durante un banquete al que fue invitado, el ministro nazi de educación preguntó a Hilbert: ''¿Y cómo están las matemáticas en Gotinga, ahora liberadas de la influencia judía?'', a lo que Hilbert respondió: ''¿Matemáticas en Gotinga? Ya no queda nada de eso allí".
Los últimos años de jubilación transcurrieron en soledad y fueron tristes, viendo además cómo se agravaba el trastorno mental de su hijo Franz, al que su mujer nunca quiso internar. Falleció el 14 de febrero de 1943, y en su tumba todavía se puede leer la máxima: ''Wir müssen wissen, wir werder wissen'' (debemos saber, sabremos).
Como ya se ha comentado, Hilbert fue uno de los matemáticos más influyentes para el desarrollo de esta disciplina en el siglo XX. Estableció el teorema fundamental de la teoría de invariantes y las bases de la axiomatización de la geometría. Además construyó los cimientos de ramas de la Matemática en donde se iban a asentar teorías físicas importantes como el germen de los espacios de Hilbert que desarrolló Von Neumann para la Mecánica Cuántica o las ecuaciones de campo que desarrolló Einstein para la Relatividad General.
Pero la más conocida contribución de Hilbert a las Matemáticas fue su famosa conferencia de 1900 en donde propuso una serie de problemas que dieron lugar a muchos de los desarrollos matemáticos más importantes del siglo XX, algunos de ellos sin resolver aún.